高中数学
《高中数学》是由人民教育出版社出版的权威教材，由人民教育出版社、课程教材研究所与数学课程教材研究开发中心联合编著。内容涵盖《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》《平面解析几何》等核心模块，系统构建数学知识体系。
公式口诀
《集合与函数》
内容涵盖子交并补集，兼有幂指对函数。奇偶性与增减性结合图像观察更直观。
复合函数表达式出现时，需用性质乘法法则辨析，深入理解需回归定义本质。
指数与对数函数互为反函数。底数为非1正数时，1两侧增减性发生变化。
函数定义域求解需注意：分母不可为零，偶次方根须非负，零与负数无对数。
正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数定义域为实数集，多种情况需综合求交集。
互为反函数的两个函数单调性质相同；图像关于Y=X轴对称。
求解规律性强，反解换元定定义域；反函数定义域即为原函数值域。
幂函数性质易记，指数化为既约分数；函数性质由指数决定：奇母奇子为奇函数，
奇母偶子为偶函数，偶母非奇偶函数；图像在第一象限内，增减性由正负判断。
《三角函数》
三角函数作为函数，需注意象限符号与坐标标注。单位圆辅助理解函数图像，周期性与奇偶性清晰呈现。
同角关系至关重要，化简证明均需应用。正六边形顶点从上至下对应弦切割。
中心标记数字1，连接顶点构成三角形；向下三角平方和，倒数关系位于对角，
顶点任意函数值等于后续两值相除。诱导公式负化正后大化小，
转化为锐角便于查表，化简证明不可或缺。二分之一整数倍时，奇数化余偶不变，
将其视作锐角，符号由原函数判定。两角和余弦值转化为单角求解，
余弦积减正弦积，换角变形衍生众多公式。和差化积需同名，互余角度变名称。
计算证明先处理角，注意结构函数名，保持基本量不变，化繁为简。
逆反原则指导，升幂降次和差积。条件等式证明中，方程思想指引方向。
万能公式转化为有理式优先。公式顺用逆用结合变形巧用。
1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范。
三角函数反函数实质为角度求解，先求三角函数值，再判断角度范围。
借助直角三角形直观换名，简单三角方程化为最简求解集。
《不等式》
解不等式需运用函数性质。对指无理不等式转化为有理不等式。
高次向低次代换，步步转化需等价。数形结合相互转化，辅助解答作用显著。
证明不等式方法中，实数性质威力大。求差与零比大小，作商和一争高下。
直接困难分析清晰，思路明确综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。
重要不等式与数学归纳法结合。图形函数辅助理解，建模构造法应用。
《数列》
等差等比两数列，通项公式前N项和。有限项求极限，四则运算顺序转换。
数列问题多变，方程化归整体计算。数列求和难度大，错位相消巧妙转换，
取长补短高斯法，裂项求和公式应用。归纳思想编程序助思考：
一算二看三联想，猜测证明不可少。数学归纳法步骤程序化：
先验证再假定，从K向K+1推导，过程详尽，归纳原理肯定。
《复数》
虚数单位i引入，数集扩展至复数。复数对应一对数，横纵坐标表实虚部。
对应复平面点，原点连线成箭。箭杆与X轴正向夹角为辐角度。
箭杆长为模，数形结合常应用。代数几何三角式，相互转化尝试。
代数运算实质为含i多项式运算。i的正整数次幂，四个数值周期循环。
重要结论熟记巧用。虚实互化能力大，复数相等转化。
运用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图示：加法平行四边形，
减法三角法则判；乘法除法运算，逆向顺向旋转，伸缩模长变化。
三角形式运算需辨辐角与模。棣莫弗公式方便乘方开方。
辐角运算独特，和差由积商得。四条性质不可少：相等和模与共轭，
两数不会为实数，大小比较不适用。复数实数关系密切，注意本质区别。
《排列、组合、二项式定理》
加法乘法两原理，贯穿始终法则。组合与序无关，排列要求有序。
两公式两性质，两种思想方法。归纳排列组合，应用问题需转化。
排列组合结合，先选后排常理。特殊元素位置，优先考虑。
不重不漏多思，捆绑插空技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，小行星3789杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。
《立体几何》
点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离从点出发，角度为线线成。
垂直平行是重点，证明需厘清概念。线线线面和面面，三对关系循环现。
方程思想整体求，化归意识动割补。计算前先证明，绘制移出图形。
立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念关键，解题最重要。
异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题应用广。
《平面解析几何》
有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合典范。
勒内·笛卡尔观点正确，点与有序实数对一一对应，开创几何新途径。
两种思想相辉映，化归思想先行；待定系数法实质为方程组思想。
三种类型综合，画出曲线求方程，给定方程作曲线，判定曲线位置关系。
四工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不可丢，旋转变换复数求。
解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。
必修一
1. 集合
（约4课时）
（1）集合的含义与表示
①通过实例理解集合含义，体会元素与集合的“属于”关系。
②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同问题，感受集合语言作用。
（2）集合间的基本关系
②在具体情境中了解全集与空集含义。
（3）集合的基本运算
②理解给定集合中子集的补集含义，会求给定子集的补集。
③能用Venn图表达集合关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
2. 函数概念与基本初等函数
（约32课时）
（1）函数
①进一步体会函数描述变量依赖关系的重要模型，用集合与对应语言刻画函数，体会对应关系作用；了解函数构成要素，会求简单函数定义域和值域；了解映射概念。
②在实际情境中，根据需求选择恰当方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。
③了解简单分段函数，并能简单应用。
④通过已学函数特别是二次函数，理解函数单调性、最值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性含义。
⑤学会用函数图象理解和研究函数性质（参见例1）。
（2）指数函数
①通过实例（如细胞分裂、考古中C衰减、药物残留量变化），了解指数函数模型实际背景。
②理解有理指数幂含义，通过实例了解实数指数幂意义，掌握幂运算。
③理解指数函数概念和意义，能用计算器或计算机画具体指数函数图象，探索并理解单调性与特殊点。
④在解决简单实际问题中，体会指数函数作为重要函数模型（参见例2）。
（3）对数函数
①理解对数概念及运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；通过阅读材料了解对数历史及简化运算作用。
②通过具体实例直观了解对数函数模型数量关系，初步理解对数函数概念，体会其作为重要函数模型；能用计算器或计算机画具体对数函数图象，探索并了解单调性与特殊点。
（4）幂函数
通过实例了解幂函数概念；结合函数图象了解变化情况。
（5）函数与方程
①结合二次函数图象，判断一元二次方程根的存在性与个数，了解函数零点与方程根的联系。
②根据具体函数图象，能借助计算器用二分法求相应方程近似解，了解此为常用近似解方法。
（6）函数模型及其应用
①利用计算工具比较指数函数、对数函数及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长含义。
②收集生活中常用函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）实例，了解函数模型广泛应用。
（7）实习作业
根据主题收集17世纪前后对数学发展重大历史事件和人物（如约翰尼斯·开普勒、伽利略·伽利莱、勒内·笛卡尔、艾萨克·牛顿、戈特弗里德·莱布尼茨、莱昂哈德·欧拉等）资料或现实函数实例，小组合作撰写函数概念形成、发展或应用文章，班级交流。具体要求参见数学文化要求。
必修二
立体几何初步
（约18课时）
（1）空间几何体
①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体结构特征，并能运用这些特征描述现实简单物体结构。
②能画出简单空间图形（如长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，识别上述三视图表示的立体模型，会用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画直观图。
③通过观察平行投影与中心投影两种方法画的视图与直观图，了解空间图形不同表示形式。
④完成实习作业，如画出某些建筑视图与直观图（尺寸、线条不作严格要求）。
⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积计算公式（不要求记忆公式）。
（2）点、线、面之间的位置关系
①借助长方体模型，在直观认识空间点、线、面位置关系基础上，抽象出空间线、面位置关系定义，了解作为推理依据的公理和定理。
◆公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
◆公理2：过不在一条直线上三点，有且只有一个平面。
◆公理3：如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
②以立体几何定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识空间中线面平行、垂直的性质与判定。
操作确认，归纳以下判定定理。
◆平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
◆一个平面内两条相交直线与另一平面平行，则这两平面平行。
◆一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
◆一个平面过另一平面垂线，则两平面垂直。
操作确认，归纳以下性质定理，并证明。
◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与此平面交线与该直线平行。
◆两平面平行，则任意一平面与这两平面相交所得交线相互平行。
◆垂直于同一平面的两条直线平行。
◆两平面垂直，则一平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直。
③能用已获结论证明一些空间位置关系的简单命题。
平面解析几何初步
（约18课时）
（1）直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线倾斜角和斜率概念，经历用代数方法刻画直线斜率过程，掌握过两点直线斜率计算公式。
③能根据斜率判定两直线平行或垂直。
④根据确定直线位置几何要素，探索并掌握直线方程几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数关系。
⑤能用解方程组方法求两直线交点坐标。
⑥探索并掌握两点间距离公式、点到直线距离公式，会求两平行直线间距离。
（2）圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
极坐标系与参数方程
②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单问题。
（3）在平面解析几何初步学习中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
（4）空间直角坐标系
①通过具体情境感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。
②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索得出空间两点距离公式。
必修三 算法初步
（约12课时）
（1）算法的含义、程序框图
①通过分析具体问题过程与步骤（如二元一次方程组求解），体会算法思想，了解算法含义。
②通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题解决中（如三元一次方程组求解），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（2）基本算法语句：经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法基本思想。
（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
统计
（约16课时）
（1）随机抽样
①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。
③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。
④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
（2）用样本估计总体
①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会各自特点。
②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
③能根据实际问题需求合理选取样本，从样本数据中提取基本数字特征（如平均数、标准差），并合理解释。
④在解决统计问题过程中，进一步体会用样本估计总体思想，会用样本频率分布估计总体分布，会用样本基本数字特征估计总体基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
⑤会用随机抽样基本方法和样本估计总体思想解决一些简单实际问题；能通过数据分析为合理决策提供依据，认识统计作用，体会统计思维与确定性思维差异。
⑥形成对数据处理过程初步评价的意识。
（3）变量的相关性
①通过收集现实问题中两个关联变量数据作散点图，利用散点图直观认识变量间相关关系。
②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关过程。知道最小二乘法思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（参见例2）。
概率
（约8课时）
（1）在具体情境中了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率意义以及频率与概率的区别。
（2）通过实例了解两个互斥事件的概率加法公式。
（3）通过实例理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生概率。
<p极坐标与参数方程的应用
（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。
（5）通过阅读材料了解人类认识随机现象的过程。
必修四 三角函数
（约16课时）
（1）任意角、弧度
了解任意角概念和弧度制，能进行弧度与角度互化。
（2）三角函数
①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出图象，了解三角函数的周期性。
③借助图象理解正弦函数、余弦函数在特定区间上的性质（如单调性、最值、图象与x轴交点等）。
④理解同角三角函数的基本关系式。
⑤结合具体实例了解实际意义；能借助计算器或计算机画出图象，观察参数A，ω对函数图象变化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
平面向量
（约12课时）
（极坐标与参数方程的转换 1）平面向量的实际背景及基本概念
通过力和力的分析等实例了解向量实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
（2）向量的线性运算
①掌握向量加、减法运算，理解其几何意义。
②掌握向量数乘运算，理解其几何意义，以及两向量共线的含义。
③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
（4）平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
④能用数量积表示两向量的夹角，会用数量积判断两平面向量的垂直关系。
（5）向量的应用
经历用向量方法解决某些简单平面几何问题、力学问题与其他实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题能力。
三角恒等变换
（约8课时）
（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。
（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、极坐标与参数方程的转换和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
必修五 解三角形
（约8课时）
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
数列
（约12课时）
（1）数列的概念和简单表示法
了解数列的概念和几种简单表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。
（2）等差数列、等比数列
①理解等差数列、等比数列的概念。
②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。
③能在具体的问题情境中发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应问题（参见例1）。
不等式
（约16课时）
（1）不等关系
感受现实世界和日常生活中存在大量不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
（2）一元二次不等式
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。
②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式尝试设计求解的程序框图。
（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题
①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组（参见例2）。
③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决（参见例3）。
（4）基本不等式
①探索并了解基本不等式的证明过程。
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题（参见例4）。
选修二
2-1
常用逻辑用语
（约8课时）
（1）命题及其关系
①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。
②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。
（2）简单的逻辑联结极坐标与参数方程的转换词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。
（3）全称量词与存在量词
①理解全称量词与存在量词的意义。
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
（约16课时）
（1）圆锥曲线
①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。
⑤通过圆锥曲线的学习进一步体会数形结合的思想。
（2）曲线与方程
了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。
（3）椭圆、双曲线与抛物线
椭圆
标准方程 (,)（焦点在x轴上）
焦点，
离心率
标准方程 ()（焦点在x轴上）
焦点，
离心率
标准方程（焦点在x轴正半轴上）
焦点
空间向量与立体几何
（约12课时）
（1）空间向量及其运算
（2）空间向量的应用
2-2
1. 导数及其应用
（约24课时）
（1）导数概念及其几何意义
①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见选修1－1案例中的例2、例3）。
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算①能根据导数定义求函数的导数。
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如）的导数。
③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
①借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系（参见选修1－1案例中的例4）；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
②结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例。
例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用（参见选修1－1案例中的例5）。
（5）定积分与微积分基本定理
①通过求曲边梯形的面积、变力做功等，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。
②通过变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系，直观了解微积分基本定理的含义（参见例1）。
2. 推理与证明
（约8课时）
（1）合情推理与演绎推理
①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（参见选修1-2案例中的例2、例3）。
②体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
③通过具体实例了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
（2）直接证明与间接证明
①了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。
（3）数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
（4）数学文化
①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、卡尔·马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。
3. 数系的扩充与复数的引入
（约4课时）
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
2-3
计数原理
（约14课时）
总结分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。
（2）排列与组合
理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。
（3）二项式定理
能用计数原理证明二项式定理（参见例1）；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
统计与概率
（约22课时）
（1）概率
①在对具体问题的分析中理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。
②通过实例（如彩票抽奖）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用（参见例2）。
③在具体情境中了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题（参见例3）。
④理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题（参见极坐标与参数方程的转换例4）。
⑤借助直观（如实际问题的直方图）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
（2）统计案例
①通过对“肺癌与吸烟有关吗”的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。
②通过对“质量控制”“新药是否有效”的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用（参见选修1-2案例中的例1）。
③通过对“昆虫分类”的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。
④通过对“人的体重与身高的关系”的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。
参考案例
例1. 二项式定理的证明。
是n个 相乘，每个 在相乘时有两种选择选a或b，由分步计数原理可知展开式共有 项（包括同类项），其中每一项都是的形式，0，1，……，n；对于每一项，它是由k个 选了a，个 选了b得到的，它出现的次数相当于从n个中取k个a的组合数，将它们合并同类项就得二项展开式，这就是二项式定理。
例2.高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏。在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球，摸到4个红球的就中一等奖。求获一等奖的概率。
从30个球中摸出5个球的组合数为：；
如果令X表示摸出红球的个数，则X服从的超几何分布，那么
例3. 将一枚均匀硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能的结果（出现正面，不出现正面），出现正面的概率为。
如果令X为硬币正面出现的次数，则X服从 的二项分布，那么
由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面”的概率为
在学习概率时会有一种误解，认为既然出现正面的概率为，那么掷100次硬币出现50次正面是必然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8%左右。
例4. 据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01。设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案。
方案1：运走设备，此时需花费3800元。
方案2：建一保护围墙，需花费2000元。但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元。试比较哪一种方案好。
选修三3-1
数学史选讲
说明与建议
1.本专题不必追求数学发展历史的系统性和完整性，通过生动活泼的语言与喜闻乐见的事例呈现内容，使体会数学的重要思想和发展轨迹。本专题的内容安排可以采取多种形式，既可以由古到今，追寻数学发展的历史；也可以从现实的、熟悉的数学问题出发，追根溯源，回眸数学发展中的重要事件和人物。例如，可以从“我们现在有多少种记数方法”出发，追溯历史上的记数法（巴比伦的60进制、英国的12进制、计算机的二进制以及10进制，二进制与中原地区的八卦）。又如，可以从熟悉的π入手，漫谈祖冲之的成果，用随机数方法计算π，介绍古希腊和中国古代如何对待无理数、目前计算机可以算π到小数点后多少位等问题。
2.以上所提供的内容仅仅是一种选择，本专题内容的安排可以根据具体情况作适当调整。内容应突出所蕴涵的思想性，突出数学发展的轨迹，突出数学家刻苦钻研的科学精神。内容的选择要符合的接受水平，呈现方式应图文并茂、丰富多彩，引起的兴趣。
3.教学方式应灵活多样，可采取讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写报告等方式进行。教师应鼓励对数学发展的历史轨迹。自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告。
3-2
信息安全与密码
1.初等数论的有关知识
2.了解整除和同余，模m的完全同余系和简化剩余系，长城欧拉定理和费马极坐标与参数方程的转换小定理，大极坐标与参数方程的转换数分解问题。
3.了解欧拉函数的定义和计算公式，威尔逊定理及在素数判别中的应用，原根与指数，模p的原根存在性，离散对数问题。
4.数论在信息安全中的应用5.了解通讯安全中的有关概念（如明文、密文、密钥）和通讯安全中的基本问题（如保密、数字签名、密钥管理、分配和共享）。
6.了解古典密码的一个例子：流密码（利用模m同余方式）。
7.理解公钥体制（单向函数概念），以及加密和数字签名的方法（基于大数分解的RSA方案）。
8.理解离散对数在密钥交换和分配中的应用——棣弗－赫尔曼（Diffi-Hellman）方案。
9.理解离散对数在加密和数字签名中的应用——盖莫尔（ElGamal）算法。
10.了解拉格朗日插极坐标与参数方程的转换值公式在密钥共享中的应用。
3-3
球面上的几何
1.通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位）体会引入球面几何知识的必要性。
2.通过球面图形与平面图形的比较感受球面几何与欧氏平面几何的异同。例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。
3.体会球面具有类似平面的对称性质。
4.了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形（简称球极三角形）。
5.通过球面几何与欧氏平面几何比较探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上，并说明理由，由此理解球面三角形的全等定理s.s.s，s.a.s，a.s.a。
6.理解单位球面三角形的面积公式（ ），由此体会球面三角形内角和大于180°。
7.了解球面三角形全等的a.a.a定理。8.利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体验球面几何与拓扑学的关系。
9.利用向量的叉乘（向量积）探索并证明球面余弦定理（ ）和球面上的勾股定理（即当 时的球面余弦定理），能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理。
10.体会当球面半径无限增大时球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。
11.初步了解另一种非欧几里得几何模型——亨利·庞加莱极坐标与参数方程的转换模型。
3-4
对称与群
1.通过丰富的对称图形体验日常生活和现实世界中存在着大量对称现象与总的特点。
2.了解刚体运动的基本性质和规律。
3.通过分析图形的不同对称性和刚体运动寻求刻画不同图形对称性的思想，逐步形成图形对称变换的概念。
4.找出其所有对称变换。
5.逐步形成对称变换合成的概念，理解对称变换合成的封闭性。
6.通过操作认识对称变换满足结合律。
7.通过操作理解恒等变换的概念，逆变换的概念及其性质，针对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换。
8.建立变换群的概念，并初步了解抽象群的概念。
9.能借助几何直观求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群。
10.了解一种群的表示方法——乘法表示极坐标与参数方程的转换法。
11.了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法——直积。
12.了解群论在现实生活中的重要应用，如晶体分类定理极坐标与参数方程的转换。
13.考察其他形式的对称变换，如代数式。通过二次、三次方程的求解过程了解代数方程根的对称群的含义，并了解埃瓦里斯特·伽罗瓦利用群论方法解决方程根式解问题的科学史实，感受群论在现代数学中的重大作用。
3-5
欧拉公式与闭曲面分类
1.复习已学过的变换并使用它们对平面图形分类
2.复习平移、旋转、平面运动、反射、全等、位似、伸缩、相似变换，以及对平面图形分类。
3.在上述变换下探索什么几何性质是不变的。
4.体会变换的一些基本特征：对应，连续。
5.欧拉公式
极坐标与参数方程的转换6.通过探索发现欧拉公式的过程理解欧拉公式。
7.理解欧拉公式的拓扑证明。
8.使用欧拉公式解决一些问题（如探索正多面体的个数）。
9.探索非莱昂哈德·欧拉多面形的面数、棱数、顶点数的关系。
10.理解曲面三角剖分的概念。
11.会对一些曲面进行三角剖分并能计算它们的欧拉示性数。
12.了解拓扑变换的直观含义。
13.知道一些拓扑不变量并能用它们对一些曲线、闭曲面进行分类，了解一些曲线、闭曲面的分类结果。
14.了解拓扑思想的一些应用（如平面布线问题、一笔画问题、布劳威尔环形山不动点定理与经济稳定点问题、四色问题）。
3-6
三等分角与数域扩充
1.了解古希腊三大几何作图问题，通过三等分角问题了解它们的正确提法。在不限于圆规和直尺的前提下了解三等分角的几种不同作法。
2.理解解决三等分角问题的基本思路——刻画尺规作图的范围。
3.给定线段a，b，会用尺规作图方法作出长为 的线段。
4.对于给定的任何已知线段，若把它作为单位长，则任一（正）有理数是可作图的（即仅用圆规和直尺可作出该有理数长的线段）。
5.通过有理数对加、减、乘、除运算的封闭性了解有理数域和一般数域的概念。
6.设F是一数域，且。证明：集合 也是一个数域，且F是集合 的子集合。了解扩域的概念。
7.给出一些数域、扩域的具体实例。
8.给定长为a的线段，会用尺规作图方法作出长为 的线段。
9.学会把三等分角问题代数化。
10.证明：不能用尺规作图的方法三等分60度角。
11.用上述方法讨论“倍方问题”或“用圆规和直尺不可能作出正七边形”。
12.体会解决古希腊三大作图问题的思想方法和它在人们思想认识上的作用。
13.了解复数乘法的棣莫弗公式，会用代数方法讨论正十七边形是可作图的（即可用尺规作图方法作出正十七边形）。
选修四4-1
几何证明选讲
利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明上述定理（1）情况。
试证明以下结果：①在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π'；②如果平面π与平面π'的交线为m，在5极坐标与参数方程的转换（1）中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率。）
探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果。
4-2
矩阵与变换、内容与要求
1.引入二阶矩阵
2.二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换
3.以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。
4.证明矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即证明
6.变换的复合——二阶方阵的乘法
7.通过变换的实例了解矩阵与矩阵的乘法的意义。
8.通过具体的几何图形变换说明矩阵乘法不满足交换律。
9.验证二阶方阵乘法满足结合律。
10.通过具体的几何图形变换说明乘法不满足消去律。
11.逆矩阵与二阶行列式
12.通过具体图形变换理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换说明逆矩阵可能不存在。
13.会证明逆矩阵的唯一性和 等简单性质，并了解其在变换中的意义。
14.了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。
15.二阶矩阵与二元一次方程组
16.能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。
17.会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。18.会通过具体的系数矩阵从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。
19.变换的不变量
20.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
21.会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。
22.矩阵的应用
23.利用矩阵A的特征值、特征向量给出 简单的表示，并能用它来解决问题。
24.初步了解三阶或高阶矩阵。
25.了解矩阵的应用。
4-3
数列与差分
1.数列的差分2.通过一些具体实例理解数列差分的概念。
3.理解数列的一、二阶差分以及它们对描述数列变化的意义，结合数列（作为函数）的图象了解差分与数列的增减、极值、数列图象的凹凸的关系。
4.一阶线性差分方程
5.通过一些具体实例体会方程 是十分有用的数学模型。
6.理解方程 中，当（即方程为齐次方程）时，其解为等比数列；当（即差分为常数）时，其解为等差数列。
7.认识方程 的通解、特解，了解方程的解与相应的齐次方程 通解的关系；能给出方程 的通解公式。
8.（二元）一阶线性差分方程组
9.通过一些实例认识一阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型。
10.了解一阶线性差分方程组的通解、特解与其相应齐次方程组通解的关系。
11.给定初值会用迭代法求一阶线性差分方程组的解；能写出求解的算法框图。
12.对给定的具体方程组能初步讨论当时解（数列）的变化趋势（收敛、发散、周期）。
13.通过具体实例（如种群增长等）体会方程 是十分有用的数学模型。借助计算工具用迭代法分别对k取一些特殊值（如0
14.应用
15.学会用差分方程和差分方程组解决一些简单的实际问题。
16.初步体会连续变量离散化的思想，能用它来讨论一些简单的问题。
4-4
1.坐标系
2.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。
3.通过具体例子了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
4.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
5.能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。
6.借助具体实例（如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等）了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。
7.参数方程
8.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
9.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。
10.举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。
11.借助教具或计算机软件观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在极坐标与参数方程的转换圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。
12.通过阅读材料了解其他摆线（变幅平摆线、变幅渐开极坐标与参数方程的转换线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例（例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮极坐标与参数方程的转换与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门）；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。
4-5
不等式选讲
1.回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。
2.理解绝对值的几何意义：
3.认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。
4.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：
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