离差平方和的核心概念与应用解析

离差平方和

离差平方和（Sum of Squares of Deviations）指各数据点与平均值之间差异的平方总和。具体定义为：若 x 是一个随机变量，令 η = x - Ex，则 η 称为 x 的离差，体现了 x 与其数学期望 Ex 的偏离程度。

基本定义

设 x 为一随机变量，令 η = x - Ex，则 η 是 x 的离差。该数值直接反映出 x 相对于其数学期望 Ex 的波动范围。

与方差的关系

离差平方和与方差密切相关

由于离差的数学期望始终为0，实际应用中常使用离差平方的期望，即方差，来衡量数据分布的离散程度，记作 Dx。

包括总体方差与样本方差两种形式

样本计算

离差平方和的样本计算方法

通常借助计算机完成。例如在Microsoft Excel中：可先用 Varp 函数计算总体方差，进而推导出离差平方和。

分解

借助对离差平方和的分解，可执行方差分析。统计学实践表明，某一特征量的多次观测结果往往存在差异，这种差异由多种因素导致。离差平方和可用于衡量这些因素所引致的变异。为解决多因素影响分析，英国统计学家 Fisher 提出方差分析方法，核心思想是将总离差平方和拆分为若干组成部分，每一部分对应一种变异来源，并利用 F 分布进行假设检验。

离差平方和的分解方式类似于物理学中的平行轴定理

以单因素方差分析为例，离差平方和分解为：

SSE 表示误差平方和，SST 为总离差平方和，SSA 则是处理因素 A 不同水平之间的离差平方和

计算时先使用 Varp 求总体方差，

若因素 A 有 k 个水平，对每一水平组计算离差平方和，得到组内误差：

加总各组误差，即得总误差平方和：

再根据公式求因素 A 的处理平方和

这是完成方差分析的首要步骤。

如果各组样本量相等，也可采用如下方法：

计算每组平均值，再对这些均值求方差，并乘以总样本数 N，即得

特别地，若每组仅有一个观测值，则无组内平方和，此时分组均值的离差平方和即为

对于两因素无交互作用的方差分析（假设总样本量为 N）

与单因素分析类似，先计算

按因素 A 分组，计算每组均值，对该组均值求方差后乘以 N，得到

同理可得因素 B 的离差平方和

最后通过公式计算误差平方和

后续 F 检验请参见方差分析。

实际分析可借助 EXCEL、SPSS 或 SAS 等工具完成。

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